La altura de las montañas

Por Miguel Manzano
En Experimentos
9 de diciembre de 2013
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OBJETIVOS DEL EXPERIMENTO

Encontrar la altura máxima que puede tener una montaña granulada fijada una base circular.

PALABRAS CLAVE

– Ángulo crítico

MATERIAL

– Arena de la playa
– Regla
– Cartón
– Tijeras
– Pegamento
– Maderas (palitos de helado)
– Vaso

TIEMPO NECESARIO

Preparar: 20 Minutos
Realizar: 15 Minutos
Recoger: 5 Minutos

DESCRIPCIÓN Y DIBUJO DEL EXPERIMENTO

Podemos formar montones de arena, en ingeniería se conoce, desde hace mucho, el amontonamiento de los áridos, como la arena, la tierra o el cemento en polvo. La propiedad más sencilla e importante de los montones es la existencia de un ángulo crítico. Hay una pendiente máxima, dependiente de la naturaleza del árido, que no puede rebasarse sin desencadenar el desplome. Esta pendiente forma un ángulo constante con el suelo, el ángulo crítico. Si seguimos aportando arena, haciendo el montón cada vez más alto – por ejemplo, vertiéndola en un delgado hilo – la ladera de la pila se irá haciendo cada vez más pina, hasta alcanzar el ángulo crítico. Cualquier grano de arena que se añada irá entonces rodando montón abajo, provocando una diminuta avalancha o una grande, haciendo que la ladera conserve una pendiente constante. En este modelo, el más sencillo, el estado estacionario corresponde a un cono cuyas generatrices tienen una inclinación exactamente igual al ángulo crítico.

Para comprobar el ángulo critico de la arena de playa necesitamos tener arena fina, seca y limpia, y haremos unos círculos de cartón de diferentes radios, y reforzados por debajo con palos, para que cuando echemos la arena, el cartón no ceda nada. También pondremos detrás una escala para medir cual es la altura que hemos conseguido a echar la arena poco a poco.

angulocritico

DESARROLLO EXPERIMENTAL

angulocritico2

El procedimiento es el siguiente, vamos colocando una a una las bases, y echamos poco a poco la arena, hasta que ya no aumenta la altura, y tomamos la medida, así formaremos una tabla, con los radios y las alturas de la arena.

angulocritico3

De manera que obtenemos la siguiente tabla:

Radio (cm) 1 2 3 4 5 7
Altura (cm) 0,85 1,65 2,7 3,3 4,3 5,9

angulocritico4

Tenemos un ajuste de datos, la ecuación que obtenemos es:

y = 0,84x + 0,02

Sabemos entonces que la pendiente, que es lo que nos interesa podemos relacionarla con el ángulo crítico:

tg \alpha = \frac{sen \alpha}{cos \alpha} = \frac{h}{r} = 0,84

Luego

\alpha = arctg (0,84) = 40,03^o

Ese es el ángulo crítico para la arena de playa, el ángulo al que nos referimos se puede ver en la siguiente imagen:

angulocritico5

La teoría de complejidad estudia el proceso que confiere esta forma de la ladera, así como las naturaleza de las avalanchas, grandes o pequeñas, que acompañan a su crecimiento.

OBSERVACIONES

Puede hacerse con otros materiales como harina…

REFERENCIAS

Investigación y Ciencia, Agosto 1998 – Juegos Matemáticos – Relaciones bien cimentadas.

AVISO

Esta web no se responsabiliza de la mala utilización de los experimentos.

Aportado por: Francisco Cánovas Picón

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