OBJETIVOS DEL EXPERIMENTO
Comprobar que en este caso podemos construir una escalera siguiendo unas regla matemática. Explicar el concepto de centro de masas.
PALABRAS CLAVE
– Centro de masas
MATERIAL
– Listones pequeños de madera
TIEMPO NECESARIO
Preparar: 3 Minutos
Realizar: 10 Minutos
Recoger: 2 Minutos
DESCRIPCIÓN/DIBUJO DEL EXPERIMENTO
Esta práctica es fácil de realizar, necesitamos unas maderas rectangulares, todas del mismo tamaño y material, en su defecto podemos utilizar cartas. Vamos a apilarlas pero de una forma especial, haremos una especie de escalera, colocamos la primera encima de la mesa. Y las colocaremos de la siguiente forma:
Como vamos a poner más maderas la serie será la siguiente:
De arriba hacia abajo. Si nuestras maderas tiene una longitud de 30 cm para 8 maderas, tendremos: 30, 7’5, 5, 3’75, 3, 2’5, 2’1, 1’8.
DESARROLLO EXPERIMENTAL
Podemos realizar un pequeño desarrollo. Llámese centro de masas de un sistema de dos cuerpos puntuales, el punto que divide la distancia entre esos cuerpos, en segmentos inversamente proporcionales a las masas de los mismos. De modo que si el punto S es el centro de masas y
que se encuentran en el eje x a distancias
y
, respectivamente, del origen de coordenadas, entonces:
De donde, para la abscisa del centro de masas obtenemos:
Si existe otro punto de masa , que también se encuentre en el eje x a la distancia
del origen de las coordenadas, el centro de masas de todo el sistema se determinará como el centro de la masa
concentradas en el punto
, y de la masa
, así que la abcisa
del centro de masas del sistema la obtendremos de la igualdad:
En el caso de n puntos, la fórmula para hallar la abcisa del centro de masas tiene el aspecto:
Si los puntos están distribuidos no en el eje x, sino dispersos en el espacio de un modo arbitrario, se añaden dos igualdades más:
Estas fórmulas llevan el nombre de fórmulas de Torricelli, y la primera de ellas se puede emplear para resolver el problema.
Para que un ladrillo no se caiga del que está debajo, la perpendicular bajada desde el centro del primer ladrillo no debe sobresalir del contorno de apoyo, o sea, el centro de masas del ladrillo superior no debe tener x > l. De este modo, la magnitud a la cual se puede desplazar el ladrillo más alto de la mampostería con relación al ladrillo anterior deberá satisfacer la condición:
Examinemos ahora un sistema de tres ladrillos. Acabamos de aclarar que el ladrillo superior se puede desplazar a l/2. ¿En cuánto se podrá desplazar el penúltimo ladrillo (intermedio en que la perpendicular bajada desde el centro de masas de los dos ladrillos superiores no debe salir del contorno del ladrillo inferior, o sea, tal como antes, deberá cumplirse la desigualdad (
es la abscisa del centro de masas de los dos ladrillos):
De donde:
Para un sistema de cuatro ladrillos tenemos:
De donde:
De manera análoga se puede obtener sucesivamente:
;
;
El posible desplazamiento del ladrillo más alto se puede representar como la suma:
Los matemáticos dicen que esta serie (serie armónica) encerrada entre paréntesis diverge, o sea, que su suma (con un número bastante grande de términos) puede ser tan larga como se quiera. Esto significa que con un incremento ilimitado del número de ladrillos ¡El ladrillo superior en la cornisa puede sobresalir del que está más abajo tanto como se quiera!
La explicación física resumida es que el centro de masas siempre pasa su vertical por encima del bloque que está pegado a la mesa. Si el centro de masas saliera fuera, entonces el montaje se desplomaría.
OBSERVACIONES
Cuanto más larga sean las maderas más fácil resultará hacer la construcción alta.
REFERENCIAS
Paradojas y Sofismas Físicos (Editorial Mir.- V. Langue) – La paradoja de la mampostería. Pág. 31
AVISO
Esta web no se responsabiliza de la mala utilización de los experimentos.
Aportado por Francisco Cánovas Picón