La paradoja de la mampostería

OBJETIVOS DEL EXPERIMENTO

Comprobar que en este caso podemos construir una escalera siguiendo unas regla matemática. Explicar el concepto de centro de masas.

PALABRAS CLAVE

– Centro de masas

MATERIAL

– Listones pequeños de madera

TIEMPO NECESARIO

Preparar: 3 Minutos
Realizar: 10 Minutos
Recoger: 2 Minutos

DESCRIPCIÓN/DIBUJO DEL EXPERIMENTO

Esta práctica es fácil de realizar, necesitamos unas maderas rectangulares, todas del mismo tamaño y material, en su defecto podemos utilizar cartas. Vamos a apilarlas pero de una forma especial, haremos una especie de escalera, colocamos la primera encima de la mesa. Y las colocaremos de la siguiente forma:

Como vamos a poner más maderas la serie será la siguiente:

$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{14} + \frac{1}{16} + \ldots + \frac{1}{n}$

De arriba hacia abajo. Si nuestras maderas tiene una longitud de 30 cm para 8 maderas, tendremos: 30, 7’5, 5, 3’75, 3, 2’5, 2’1, 1’8.

DESARROLLO EXPERIMENTAL

Podemos realizar un pequeño desarrollo. Llámese centro de masas de un sistema de dos cuerpos puntuales, el punto que divide la distancia entre esos cuerpos, en segmentos inversamente proporcionales a las masas de los mismos. De modo que si el punto S es el centro de masas $m_1$ y $m_2$ que se encuentran en el eje x a distancias $x_1$ y $x_2$ , respectivamente, del origen de coordenadas, entonces:

$\frac{x_s - x_1}{x_2 - x_s} = \frac{m_2}{m_1}$

De donde, para la abscisa del centro de masas obtenemos:

$x_s = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

Si existe otro punto de masa $m_3$ , que también se encuentre en el eje x a la distancia $x_3$ del origen de las coordenadas, el centro de masas de todo el sistema se determinará como el centro de la masa $(m_1 + m_2)$ concentradas en el punto $x_s$ , y de la masa $m_3$ , así que la abcisa $x_0$ del centro de masas del sistema la obtendremos de la igualdad:

$x_0 = \frac{(m_1 + m_2) x_s + m_3 x_3}{(m_1 + m_2) + m_3} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$

En el caso de n puntos, la fórmula para hallar la abcisa del centro de masas tiene el aspecto:

$x_0 = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \ldots + m_n x_n}{m_1 + m_2 + \ldots + m_n}$

Si los puntos están distribuidos no en el eje x, sino dispersos en el espacio de un modo arbitrario, se añaden dos igualdades más:

$y_0 = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + \ldots + m_n y_n}{m_1 + m_2 + \ldots + m_n}$

$z_0 = \frac{m_1 z_1 + m_2 z_2 + \ldots + m_n z_n}{m_1 + m_2 + \ldots + m_n}$

Estas fórmulas llevan el nombre de fórmulas de Torricelli, y la primera de ellas se puede emplear para resolver el problema.

Para que un ladrillo no se caiga del que está debajo, la perpendicular bajada desde el centro del primer ladrillo no debe sobresalir del contorno de apoyo, o sea, el centro de masas del ladrillo superior no debe tener x > l. De este modo, la magnitud $\Delta x_1$ a la cual se puede desplazar el ladrillo más alto de la mampostería con relación al ladrillo anterior deberá satisfacer la condición:

$\Delta x_1 \le \frac{1}{2}$

Examinemos ahora un sistema de tres ladrillos. Acabamos de aclarar que el ladrillo superior se puede desplazar a l/2. ¿En cuánto se podrá desplazar el penúltimo ladrillo (intermedio en que la perpendicular bajada desde el centro de masas de los dos ladrillos superiores no debe salir del contorno del ladrillo inferior, o sea, tal como antes, deberá cumplirse la desigualdad $l \ge x_0$ ( $x_0$ es la abscisa del centro de masas de los dos ladrillos):

$l \ge \frac{m (\Delta x_2 + \frac{l}{2}) + m (\Delta x_2 + \frac{l}{2} + \frac{l}{2})}{2m}$

De donde:

$\Delta x_2 \le \frac{1}{4}$

Para un sistema de cuatro ladrillos tenemos:

$l \ge \frac{m (\Delta x_3 + \frac{l}{2}) + m (\Delta x_3 + \frac{l}{4} + \frac{l}{2}) + m (\Delta x_3 + \frac{l}{4} + \frac{l}{2} + \frac{l}{2})}{3m}$

De donde:

$\Delta x_3 \le \frac{1}{6}$

De manera análoga se puede obtener sucesivamente:

$\Delta x_4 \le \frac{1}{8}$ $\Delta x_5 \le \frac{1}{10}$ ; $\ldots$ ; $\Delta x_n \le \frac{1}{2n}$

El posible desplazamiento del ladrillo más alto se puede representar como la suma:

$\Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3 + \Delta x_4 + \ldots + \Delta x_n \le \frac{1}{2n}$ $= \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n})$

Los matemáticos dicen que esta serie (serie armónica) encerrada entre paréntesis diverge, o sea, que su suma (con un número bastante grande de términos) puede ser tan larga como se quiera. Esto significa que con un incremento ilimitado del número de ladrillos ¡El ladrillo superior en la cornisa puede sobresalir del que está más abajo tanto como se quiera!

La explicación física resumida es que el centro de masas siempre pasa su vertical por encima del bloque que está pegado a la mesa. Si el centro de masas saliera fuera, entonces el montaje se desplomaría.

OBSERVACIONES

Cuanto más larga sean las maderas más fácil resultará hacer la construcción alta.

REFERENCIAS

Paradojas y Sofismas Físicos (Editorial Mir.- V. Langue) – La paradoja de la mampostería. Pág. 31

AVISO

Esta web no se responsabiliza de la mala utilización de los experimentos.

Aportado por Francisco Cánovas Picón