Otra fórmula para el volumen y radio de una esfera

Por Miguel Manzano
En Experimentos
9 de Diciembre de 2014
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OBJETIVOS DEL EXPERIMENTO

Deducir experimentalmente una fórmula que relacione el volumen y el radio de una esfera de plastilina.

PALABRAS CLAVE

– Volumen
– Ajuste

MATERIAL

– Una pastilla grande de plastilina
– Cuchillo
– Regla
– Programa para hacer ajuste y gráficas (LibreOffice Calc por ejemplo)

TIEMPO NECESARIO

Preparar: 2 Minutos
Realizar: 10 Minutos
Recoger: 2 Minutos

DESCRIPCIÓN Y DIBUJO DEL EXPERIMENTO

Sabemos de teoría que hay una fórmula para el volumen de una esfera:

V = \frac{3}{4} \pi R^3

Pero no es necesariamente la única fórmula que podemos utilizar para relacionar el volumen y el radio de la esfera. Para comprobarlo vamos a utilizar una tableta de plastilina. La forma de proceder es la siguiente:

Partiremos la plastilina por la mitad. Uno de los trozos por la mitad otra vez, uno de los segundos trozos por la mitad y asi hasta tener 6 trozos (en verdad cada trozo es 1⁄2 del trozo anterior, empezando con la tableta más grande). Quedaría de la siguiente manera:

relacionvolumenradio01

Una vez que tenemos los trozos de la plastilina cortados de esta forma, procedemos a medir con una regla, y calculamos su volumen, multiplicando el alto (a), bajo (b) y ancho (c) de cada pastilla. Al hacerlo obtenemos la siguiente tabla:

a · b · c 11,9 · 5 · 1,3 5,9 · 5 · 1,3 3 · 5 · 1,3 3 · 2,5 · 1,3 1,5 · 2,5 · 1,3 1,5 · 1,2 · 1,3
V (cm3) 77,35 38,35 19,5 9,75 4,87 2,34

El siguiente paso ahora es hacer con cada trozo una bola. Para intentar que sea lo más redonda posible le daremos pasadas con las manos y sobre la mesa:

relacionvolumenradio02

Ya tenemos las bolas o esferas de nuestros volúmenes medidos anteriormente, ahora el paso siguiente es cortar las bolas por el centro, de manera que podamos medir los diámetros, y dividido entre dos el radio, que es lo que nos interesa. Es preferible medir primero el diámetro, ya que es más fácil que medir directamente el radio. Hay que cortar las esferas con una cuchilla fina, y por el centro de las mismas.

relacionvolumenradio03

Ahora lo que hay que hacer es una nueva tabla donde colocaremos los radios de cada una de las esferas debajo del volumen calculado anteriormente, para dibujarlo después en una gráfica.

V (cm3) 77,35 38,35 19,5 9,75 4,87 2,34
R (cm) 2,5 2,2 1,65 1,35 1,1 0,85

Procedamos ahora a dibujar estos datos en un programa además le daremos para que nos calcule la tendencia de los datos:

relacionvolumenradio04

Vemos una tendencia logarítmica bastante clara, el ajuste de la curva es:

R = 0,47 · ln(V) + 0,35

Esta es la relación entre el volumen y el radio, una fórmula que sirve para nuestra plastilina, de manera que si queremos construir una bola con un volumen de 500 centímetros cúbicos, obtendremos una bola de radio:

R = 3,27 cm3

Una característica de esto es que conforme crece el volumen, el radio va más lento, de manera que para tamaños muy grandes de volumen, un incremento de éste produce un aumento de radio muy pequeño.

Otra característica a resaltar es que esta fórmula que relaciona el volumen y el radio no es conocida pero es igual que comentamos al principio. La equivalencia puede ser vista si dibujamos ahora esta función junto a la sacada experimentalmente:

relacionvolumenradio05

Independientemente de los errores experimentales, que no son pocos, se ve que las dos líneas se parecen bastante. Se observa que la de nuestra primera fórmula conocida se ajusta mejor que la calculada por el programa, de manera que tenemos dos fórmulas para relaciona el radio y el volumen de nuestras bolas de plastilina.

OBSERVACIONES

Se puede modificar y añadir muchos parámetros en este informe, como tener en cuenta otros materiales, ver el área…

REFERENCIAS

Clases de física recreativa

AVISO

Esta web no se responsabiliza de la mala utilización de los experimentos.

Aportado por Francisco Cánovas Picón

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