2.- Búsqueda de niveles.
2.1.- Niveles totales
Hasta aquí solo hemos expuesto los conocimientos teóricos
del problema que nos va a conducir a tener que resolver los ceros de
una ecuación implícita que nos es imposible de despejar
analíticamente. Por tanto, veamos que ecuaciones necesitamos resolver.
Hemos hecho el applet, por ahora, para que resuelva el problema para electrones:
m = me. Lo primero que necesitamos es calcular k0
, dado que vamos a encontrar primero k y de ella despejaremos E,
y para ello es importante observar que las posibles soluciones para k
están contenidas en el intervalo (0, k0
). Así que este número será una importante referencia
sobre cuantos niveles puedo tener.
a) Niveles pares:
Deseamos resolver:
Con la condición de que:
Esta condición nos facilita mucho las cosas a la hora de
buscar soluciones dado que estas vivirán en los intervalos de
k de la forma (nπ/a, (n+1)π/a) con n par. Además podemos
observar que siempre va a ver solución para el primer nivel de energía
par, por pequeña que sea k0.
b) Nivel impares:
Ahora la ecuación a resolver es:
Con la condición de que:
Ahora las soluciones vivirán en los intervalos k de la
forma (nπ/a, (n+1)π/a) con n impar. De las dos condiciones se puede
obtener que el número total de niveles es:
En donde el operador int( ) pretende representar la parte entera
del número entre los paréntesis.
2.2.- Solución para cada nivel.
Dos premisas son necesarias aquí:
a) El primer nivel es par por la condición
para niveles pares.
b) A partir de este los niveles pares he impares
se van alternando.
Con estos dos datos y conocidos los intervalos en donde estará
la solución la búsqueda del cero es muy sencilla dado
que restringiéndonos al intervalo deseado las funciones que se
igualan son continuas y estrictamente decreciente y estrictamente creciente,
por tanto, tendré una y solo una solución. El método
utilizado por el applet es el método de la bisección.
Cuando el navegador desee encontrar un nivel el applet decidirá
si el nivel en par o impar por la sencilla regla de que niveles con n
impar son pares y niveles con n par son impares. Una vez conocida la paridad
de la función de onda el applet utilizará o bien la igualdad
de a) o bien la igualdad de b) en el intervalo
((n-1)π/a, nπ/a). Una vez que sabemos que igualdad utilizar y
en que intervalo buscar encontrar la solución numéricamente
es un problema trivial por lo referido en el párrafo a anterior.
2.3.- Applet
Para hacer más visible el anterior razonamiento
vea el siguiente applet.
Una vez introducidos los parámetros
se representan las curvas expuestas en la sección 2.1. Vemos que
el número de niveles corresponde con el número de cortes
entre las curvas azul y roja con la recta verde. Y que además la
primera curva roja siempre tiene que cortar con la recta verde.
Pincha aquí
para ver el contenido del applet en Java.
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