Resultados obtenidos con la simulación en FORTRAN

Además de las configuraciones presentadas anteriormente, importantes ya de por sí, presentamos algunos cálculos y gráficas realizadas para obtener los exponentes críticos.

La primera gráfica, figura 2 corresponde a la energía media por partícula. En ella esperaríamos ver en el punto crítico un ``pico'' que representase una discontinuidad en la derivada. Este pico no se observa tan pronunciado debido a los efectos de tamaño finito (que hacen que las longitudes de correlación puedan ser, como mucho, del tamaño de la red) y también, pienso, a los efectos de suavizamiento que puede tener el promedio. Sea como fuere, se observa que debe haber una transición de fase, y que la energía por partícula se va reduciendo (la energía mínima por partícula que podría alcanzar el sistema es $-2J$, obviamente). A partir de esta gráfica calculamos, mediante derivación discreta, las gráficas siguientes, figuras 4 y 3, que representan el calor específico. Ambas representan el mismo conjunto de puntos, pero con distintos ajustes (no lineales). El primer ajuste corresponde a una ecuación en forma de potencia, como en (3), y nos sirve para darnos cuenta de que el exponente crítico alpha es:

$$\boxed{\alpha = 0.0000018 \pm 0.00002 = 0}$$ (9)

como sería de esperar. Es decir, en el modelo de Ising bidimensional el calor específico no va como una potencia. En general, cuando una magnitud dependiente de una variable va elevada a un exponente próximo a cero, esto indica que dicha magnitud es constante o tiene una dependencia logarítmica. En este caso es esto último lo que sucede, y a continuación realizamos un ajuste logarítmico para comprobarlo.

Figura 2: Evolución de la energía por partícula en función de la temperatura.

Figura 3: Calor específico y su ajuste a una potencia.

Figura 4: Calor específico y su ajuste a un logaritmo.

El siguiente exponente crítico que tratamos es $\beta$, para ello hemos ido calculando la magnetización a lo largo de la simulación, obteniendo los promedios que se muestran en la gráfica 6. En ella deberíamos observar un abrupto cambio a cero en la temperatura crítica, como se muestra en la gráfica 5 que representa el comportamiento real de la magnetización en la red cuadrada. Este comportamiento viene dado por:

$$m(T<T_c) = \left( 1 - \left( \sinh{(\frac{2J}{kT})} \right)^-4\right)^{1/8}$$ (10)

Esto no se produce por el efecto de tamaño finito y por estar tomando los valores absolutos, como ya comentamos anteriormente. Por eso observamos una cola suavizada conforme aumenta la temperatura. Una vez que ajustamos los datos a la ecuación (3), obtenemos los datos que se indican en la gráfica, obteniendo el exponente crítico:

$$\boxed{\beta = 0.125 \pm 0.007}$$ (11)

Este valor está en perfecto acuerdo con el valor predicho teóricamente, $\beta = 1/8$. Desde luego, mejora en mucho el valor obtenido de forma teórica en la aproximación de campo medio, lo que da muestras de la importancia de la simulación en los fenómenos físicos, aprovechando el amplio desarrollo de las computadoras.

Figura 5: En verde el comportamiento real de la magnetización, y en rojo, la función en forma de potencia con el exponente $\beta$, que demuestra que en la zona crítica las funciones son prácticamente iguales.

Figura 6: Magnetización por partícula y su ajuste a la ecuación (3).

Otro resultado importante que podemos comentar es el de la temperatura críca. En los ajustes, dicho valor lo introducimos como parámetro libre (la diferencia de resultados que se obtiene al introducirlo como valor fijo es mínima), de forma que podemos hallar una estimación de tal. Los distintos valores que se obtienen son:

$$\frac{kT_c}{J} = 2.26653 \pm 0.0010$$ (12)

$$\frac{kT_c}{J} = 2.27510 \pm 0.0012$$ (13)

$$\frac{kT_c}{J} = 2.27371 \pm 0.0018$$ (14)

De aquí inferimos un valor medio para la temperatura crtica que es:

$$\boxed{\frac{kT_c}{J} = 2.272 \pm 0.002}$$ (15)

Que también está en bastante buen acuerdo con el valor de la solución de Onsager, en especial teniendo en cuenta lo difícil del acceso en general a las zonas críticas.