Modelo de Ising

Uno de los aspectos más excitantes de la física del estado sólido y el electromagnetismo es el ferromagnetismo. En algunos metales, una fracción de los espines de los átomos se polarizan de forma espontánea en la misma dirección, originando así un campo magnético macroscópico. Sin embargo, esto sucede solo cuando la temperatura es inferior a una temperatura característica (temperatura de Curie). Por encima de ella, los espines están orientados aleatoriamente, produciendo un campo magnético (neto, macroscópico) nulo. Conforme se alcanza dicha temperatura (en ambas direcciones) el calor específico del metal diverge. El modelo de Ising, que estudiaremos a continuación, es un intento crudo de simular la estructura de una porción de material ferromagnético.

El modelo de Ising [3],[9] lo definimos a través del Hamiltoniano:

$$\mathcal{H}=-\sum_{\langle ij\rangle}{J_{ij}\sigma_{i}\sigma_{j}} - H\sum_{i}{\sigma_i}$$

Una simplificación considerable y bastante realista se obtiene si consideramos $J_{ij} = J$ para toda $i,j$. Llegamos entonces a:

$$\mathcal{H}=-J\sum_{\langle ij\rangle}{\sigma_{i}\sigma_{j}} - H\sum_{i}{\sigma_i}$$

$\sigma_i =-1,1$ son variables clásicas que pueden tomar los valores que hemos dicho. Podemos llamarlo espines, o ignorar tal interpretación y trabajar con el modelo tal y como está descrito por el hamiltoniano, que es lo que me define un sistema. Si $J>0$, vemos que es energéticamente favorable que los espines se orienten en la misma dirección, es decir, $\sigma_{i}\sigma_{j}=1$. Es decir, tenemos un sistema que ``emula'' el ferromagnetismo. Si $J<0$, entonces lo favorable es que los espines se orienten antiparalelamente, es decir, tenemos una sustancia paramagnética.

Una aproximación importante dentro de la física estadística, la aproximación de campo medio, predice para nuestro modelo transiciones de fase para temperaturas inferiores a la crítica, dada por:

$$kT_c = J\gamma$$

En nuestro caso bidimensional, tenemos $\gamma=4$, y $kT_c=4J$. La solución exacta de Onsager, [4],[5],[6] predice una transición de fase para un valor $kT_c = 2.27J$.

¿Por qué este modelo? ¿Por qué nos permitimos la licencia física de llamarlo ``espines''? Inicialmente, uno debería tomar como espines no variables con valores $\sigma_i =-1,1$, sino operadores cuánticos que operasen sobre una(s) cierta(s) función(es) de onda. Además, deberíamos considerar las tres componentes $x,y,z$ del espín, y aquí solo estamos tomando una. El poder considerar un sistema clásico en vez de cuántico es porque vamos a hacer estadística. El espín en esa dirección, digamos $z$ está cuantizado, tomará como valores $-1,1$, y queremos hacer física estadística sobre ellos. La segunda cuestión, la de tomar solo una componente es más sutil. Originalmente la idea de Ising [3] fue hacer una simplificación; pero lo físicamente agradable (la belleza del modelo) es que, posteriormente¹, se han encontrado modelos que se ajustan a esta descripción, para ciertas geometrías de moléculas[8] (este artículo se centra, concretamente, en el ajuste experimental de la magnetización espontánea al modelo de Ising para la molécula $\textrm{K}_2\textrm{Co}\textrm{F}_4$.

Sin duda, la virtud principal de este modelo, en cierto modo académico, consiste en que, aplicado a una red bidimensional permite un tratamiento exacto en mecánica estadística, y es el único ejemplo de transición de fase (esta transición es de orden a desorden) que puede tratarse de forma matemáticamente exacta y rigurosa, y es el paradigma de las transiciones de fase. De hecho, es vital trabajar con un sistema bidimensional: el modelo unidimensional no presenta transición de fase, y del modelo en tres dimensiones no se han encontrado soluciones exactas, a pesar de la intensa búsqueda. Así mismo, tampoco se conocen soluciones exactas del modelo de Ising (bidimensional) cuando el campo externo aplicado es distinto de cero. Es por ello que nosotros nos centraremos en este modelo concreto: el modelo de Ising en la red cuadrada (bidimensional) y sin campo externo, es decir, la única magnetización posible es la que se pueda presentar externamente.

Por otro lado, el modelo de Ising es ``mapeable'' a otros modelos, aparte del ferromagnetismo. Con ello queremos decir que, cambiando algunos nombres y variables, podemos reproducir otros sistemas, y la solución del modelo de Ising puede llevarse a ellos. Entre tales sistemas, se encuentran el gas de red y las aleaciones binarias.

Sin embargo, el modelo de Ising ha encontrado muchas aplicaciones fuera del contexto de la física. En biología molecular ha servido para modelizar macromoléculas [10] y desnaturalización de ADN [11], y en sociología, para modelizar el aislamiento cultural, [12].