Transiciones de fase. Universalidad. Exponentes críticos

En los comienzos del desarrollo de la Física Estadística se llegó a pensar que esta nunca podría describir las transiciones de fase, pues parecía imposible que la suma de unos términos perfectamente continuos (en la función de partición) pudiera dar lugar a singularidades de ningún tipo. El desarrollo matemático posterior, con la aplicación de métodos de análisis complejo cambió esta idea, y este cambio se plasmó, sobre todo, en los trabajos de Yang y Lee.

Una característica importante de las transiciones de fase es que debido a las divergencias de la longitud de correlación, los detalles del hamiltoniano a cortas distancias no deberían influir. Esta es la base de la hipótesis de la universalidad, según la cual todos los sistemas con la misma dimensionalidad y las mismas simetrías deberían tener las mismas singularidades, gobernadas por un mismo conjunto de exponentes críticos. Esto es cierto para gran cantidad de sistemas conocidos.

Las singularidades del calor específico, magnetización y susceptiblidad están parametrizadas de forma similar, y determinadas por los exponentes críticos, nombrados según la literatura universal de la forma que sigue:

$$C = C_{reg} + C_0\left\vert 1-\frac{T}{T_c}\right\vert^{-\alpha} + \ldots$$ (1)

$$m = m_0\left(1-\frac{T}{T_c}\right)^{-\beta} + \ldots$$ (2)

$$\chi = \chi_0\left\vert 1-\frac{T}{T_c}\right\vert^{-\gamma} + \ldots$$ (3)

La fórmula de la solución exacta para la magnetización es:

$$m = \left( 1 - \sinh^{-4}\left( \frac{2J}{k_B T} \right) \right)^{1/8}$$ (4)

En este trabajo, además de un estudio general del modelo, presentamos el cálculo de los exponentes críticos $\alpha$ y $\beta$.