Algoritmo de Metrópolis. Principio de balance detallado

Consideremos la probabilidad de transición de un estado $\alpha$ a un estado $\beta$, $W_{\alpha \rightarrow \beta}$. El principio detallado afirma que, dadas las probabilidades de estar en un estado $\alpha$, $P_{\alpha}$, se cumple que:

$$P_{\alpha}W_{\alpha\rightarrow\beta} = P_{\beta}W_{\beta\rightarrow\alpha}$$ (5)

Por tanto, considerando el factor de Boltzmann, llegamos a que:

$$\exp{\left(-\frac{E_{\alpha} - E_{\beta}}{kT}\right)} = \frac{W_{\beta\rightarrow\alpha}}{W_{\alpha\rightarrow\beta}}$$ (6)

Si suponemos $E_{\beta} > E_{\alpha}$ y, por eficacia, elegimos $W_{\beta\rightarrow\alpha}=1$, entonces:

$$W_{\alpha\rightarrow\beta} = \exp{\left(\frac{E_{\alpha} - E_{\beta}}{kT}\right)} <1$$ (7)

Todo este desarrollo en realidad se justifica a través de las cadenas de Markov.

En el algoritmo de Metropolis [7] estándar, que nosotros usaremos, se elige un espín de la red (de forma determinista o al azar). Calculamos la variación de energía que supondría un cambio de espín (spin flip). Si la energía de este nuevo estado es menor² que la energía del antiguo, entonces cambiamos seguro el espín. Si no lo es, lo cambiamos con probabilidad $\exp{\left(\frac{ E_{ant} - E_{nueva}}{kT} \right)}$.

El cambio en la energía es fácil de calcular, pues:

$$E_{ant} - E_{nueva} = -2J\sigma_i \sum_{\langle{j}\rangle}{\sigma_j} = -2 J S_i \Delta$$ (8)

y $\Delta$ puede valer $4,2,0,-2,-4$, lo que facilita enormemente el cálculo de probabilidades, ya que solo nos interesará calcular las probabilidades $w_2 = \exp{\left(\frac{-4J}{kT}\right)}$ y $w_1 = w_2^2$.

Ya que la longitud de correlación diverge en el punto crítico, el algoritmo de Metropolis tiene la desventaja de presentar critical slowing down, es decir, en las cercanías del punto crítico el proceso de relajación térmica se ralentiza mucho, con lo cual hay que esperar más para considerar que el sistema está en un estado de equilibrio térmico.